Fractales, hasard et finance : la théorie de Benoît Mandelbrot

Benoît Mandelbrot, polytechnicien, Docteur ès Sciences mathématiques (Paris) et Abraham Robinson Professor of Mathematical Sciences à l'université Yale, a conçu, développé et utilisé une nouvelle géométrie de la nature et du chaos en prenant comme base certains objets rugueux, poreux ou fragmentés à toutes les échelles, objets qu'il a appelés fractales. Son livre Les Objets fractals. Forme, hasard et dimension a appris au savant et à l'ingénieur - et à d'autres ! - à voir le monde de façon nouvelle, et l'impact des fractales sur l'art populaire et les mathématiques pures fut aussi puissant qu'imprévu.

On sait moins que la géométrie fractale est née des travaux que Mandelbrot avait consacrés à la finance au cours des années 1960. Il s'agissait du caractère nécessairement discontinu des prix de la Bourse, dont les changements se concentrent dans le temps, du caractère cyclique mais non périodique de l'évolution économique et de diverses conséquences de ces observations sur le calcul des risques.

Des observations empiriques aux modèles fractals en finance

Pour justifier ses choix et appuyer ses critiques, B. Mandelbrot utilise beaucoup les images, ce dont il se revendique. Il passe en revue la théorie de l’efficacité informationnelle d’un marché, en montre ses limites et indique une voie de renouvellement de la pensée financière à partir d’une classe particulière de processus fractals, les mouvements alpha-stables de Lévy.

La propriété selon laquelle très peu contribuent à beaucoup et beaucoup à très peu semble être une caractéristique fondamentale des marchés financiers. Une des conséquences de la fractalité d’un marché est la perte de pertinence de la notion de moyenne. La « perte moyenne », le « gain moyen » d’un titre ou d’un portefeuille ne signifient rien si le gain ou la perte proviennent d’un tout petit nombre de titres du portefeuille ou de journées de bourse.

Du point de vue de la dynamique boursière, les professionnels de la finance aiment bien dire que le marché est très calme, sauf quand il bouge beaucoup, aphorisme selon lequel des variations importantes suivent des périodes de calme plat. On voit que la structure fractale du marché est intuitivement perçue par les professionnels.

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Modèles clefs introduits par Mandelbrot

Puis son modèle de 1965 a introduit une nouvelle notion : le rôle du très long terme. Dans tous les cas, le coefficient prenait une valeur unique, pour tout t. On les qualifiait alors de modèles unifractals. Les X correspondants sont des processus stationnaire. Ils ont alors un seul paramètre : H.

Une grande valeur de H implique alors une variation lente tandis qu’une petite valeur indique une variation rapide. De plus, lorsque X est L-stable d’exposant α, alors H = 1/α. Lorsqu’ils sont gaussiens, on les baptise alors « mouvements browniens fractionnaires ».

Le processus suivi en temps boursier est alors le mouvement brownien, ordinaire ou fractionnaire. Enfin, un troisième modèle, qui s’inspire du modèle de 1972 est le brownien fractionnaire en temps boursier multifractal de 1997. Le fils issu de la combinaison prend le temps boursier et le transforme en prix.

Alpha-stables, Hurst et mouvements browniens fractionnaires

Les mouvements alpha-stables de Lévy fournissent une alternative aux distributions gaussiennes classiques, mieux adaptées à la prise en compte des valeurs extrêmes et des « rafales » d'événements observées dans les séries financières. Lorsqu’ils sont gaussiens, on parle de mouvements browniens fractionnaires ; ces X correspondants sont des processus stationnaires caractérisés par un paramètre H unique.

H rend compte de la persistance ou de l'anti-persistence des variations : une grande valeur de H implique une variation lente tandis qu’une petite valeur indique une variation rapide. De plus, lorsque X est L-stable d’exposant α, alors H = 1/α, reliant ainsi la théorie des lois stables de Lévy aux propriétés d'échelle des fractales financières.

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Conséquences pratiques : risques, valeurs extrêmes et finance « verte »

Les fractales sont étroitement liées à la prise en compte des valeurs extrêmes des phénomènes. La théorie des valeurs extrêmes est ainsi un instrument d’évaluation parfaitement adapté à l’environnement naturel, sujet à des phénomènes récurrents dans lesquels très peu font beaucoup et beaucoup font très peu. C’est un instrument d’évaluation (une « métrique ») qu’on qualifiera de « vert » dans ce sens.

Dans la mesure où l’environnement physique naturel est fractal, les fractales apparaissent donc comme la manière la plus « naturelle » de construire une finance verte ou durable. Les instruments actuels de la finance néoclassique reposaient sur une représentation de la nature radicalement non fractale. Aussi, aujourd’hui, pour que la finance soit verte ou « durable », il s’agit, selon le titre d’un ouvrage récent, de désintoxiquer la finance des errements de la théorie financière néoclassique et pour cela de changer les instruments d’évaluation. En un mot, de changer de paradigme.

Origines des fractales et démarche scientifique de Mandelbrot

Pour aborder l’invention et le développement des géométrisations fractales, il faut signaler le travail des précurseurs. Les deux notions fondamentales de dimension non entière et d’autosimilarité sont nées au début du XXe siècle. Poincaré avait ouvert la voie à une vision de la dynamique des systèmes commandée par l’itération, pas à pas. Beaucoup de savants, dès la fin du XIXe siècle, ont obtenu des résultats que l’on considère aujourd’hui comme des éléments précurseurs dans les géométrisations fractales.

Mandelbrot a su mettre en œuvre la puissance des ordinateurs, à tel point qu’on le compte parmi les pionniers de l’infographie. Il considérait l’outil mathématique comme « outil d'expérimentation » et fit renaître une tradition de création expérimentale des mathématiques qui s’appuie à la fois sur l’observation et sur l’intuition. Un deuxième aspect fondamental des choix mathématiques de Mandelbrot a pour base sa conviction que les modèles utilisant des fonctions continues et dérivables, et les modèles linéaires, sont peu adaptés à décrire les phénomènes naturels dès qu’on prétend les aborder dans leur complexité.

L'ensemble de Mandelbrot et l'importance de l'autosimilarité

Il formalise et popularise la notion de fractales dans les années 1970, notamment avec l’ensemble de Mandelbrot, qui devient une icône des mathématiques visuelles. L’ensemble de Mandelbrot est considéré comme localement connexe et réputé autosimilaire dans les points de voisinage, sans l'être strictement.

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L’ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia sont étroitement liés par l’itération de la fonction complexe z_{n+1} = z_n^2 + c. L’ensemble de Mandelbrot sert de « carte » des ensembles de Julia : chaque point c de Mandelbrot correspond à un ensemble de Julia spécifique. Si c appartient à Mandelbrot, l’ensemble de Julia associé est connexe ; sinon, il est totalement discontinu. Cette relation révèle une structure profonde entre stabilité et chaos, où Mandelbrot regroupe l’infinité des formes fractales de Julia.

Applications technologiques et scientifiques des fractales

Les fractales sont utilisées pour optimiser plusieurs technologies grâce à leur capacité à représenter des structures complexes avec peu d’informations. En traitement d’images, elles permettent de compresser efficacement des fichiers en conservant les détails essentiels. Dans les télécommunications, les antennes fractales améliorent la réception et réduisent l’encombrement en offrant des performances multi-bandes.

On retrouve aussi les fractales dans la nature, que ce soit dans la végétation (nervure des feuilles ou des arbres) ou dans la géologie (montagnes formées par l'érosion). Elles permettent alors de modéliser avec précision de nombreux phénomènes naturels en reproduisant leurs formes complexes et auto-similaires, qu'il s'agisse des formations nuageuses ou orageuses, de la structure arborescente des rivières ou des formations biologiques optimisées pour l'efficacité.

Impact interdisciplinaire et héritage

Les travaux de Mandelbrot ont fécondé des domaines aussi variés que la dynamique des fluides (turbulences fractales), l'hydrologie, la météorologie, l'acoustique, la percolation et l'agrégation, ainsi que des processus biologiques de diffusion tels que la respiration et le métabolisme. Ils ont aidé à comprendre l’organisation chaotique mais structurée de l’univers, révélant un lien entre mathématiques et dynamique cosmique.

Parmi les exemples pertinents, Benoît Mandelbrot, en collaboration avec Richard Hudson, a appliqué les fractales à la finance, montrant que les marchés suivent des modèles imprévisibles loin des courbes gaussiennes classiques. Michael Barnsley a développé la compression fractale des images, et Geoffrey West a utilisé les fractales pour expliquer les lois d’échelle en biologie.

Vers de nouvelles perspectives

La découverte de Mandelbrot a transformé la vision des systèmes chaotiques et complexes, offrant un nouveau champ et de nouvelles perspectives scientifiques. Les fractales offrent une compréhension plus fine des structures naturelles et des dynamiques non linéaires, et elles constituent un outil pour explorer l'infini, en utilisant les mathématiques. Les travaux de Mandelbrot continuent d’influencer la science, l’ingénierie et l’art, ouvrant de nouvelles perspectives en recherche.

Benoît Mandelbrot est né géomètre en 1924 et, toute sa vie, il a vécu la géométrie comme une mathématique et comme une esthétique. Il a montré que la complication inextricable de la vie et des phénomènes naturels peut être modélisée par des objets fractals, souvent fondés sur des procédures itératives et discontinues, mais révélant des régularités saisissantes grâce à l'usage d'ordinateurs.

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