Intégration des mathématiques dans les IVG (TPE) : rigueur, méthode et exemples autour de l’intégration par parties

Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec un niveau de rigueur pensé pour le lycée et la prépa. L’intégration par parties (souvent abrégée IPP) est l’une des techniques fondamentales du calcul intégral. Elle permet de calculer l’intégrale d’un produit de fonctions en transférant la dérivation d’un facteur à l’autre.

L’intégration par parties fait partie des techniques fondamentales du chapitre Primitives et Intégrales. Le principe est simple : transformer une intégrale compliquée en une intégrale plus simple, en exploitant la dérivation d’un produit de fonctions. Retiens l’idée : l’intégration par parties, c’est la dérivation d’un produit « lue à l’envers ».

1) La formule d’intégration par parties

La formule d’intégration par parties s’écrit :∫ₐᵇ u'(x)·v(x) dx = [u(x)·v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)·v'(x) dx L’idée est la suivante : on décompose l’intégrande en un produit u’·v, on calcule le crochet [uv] aux bornes, puis on soustrait une nouvelle intégrale ∫ u·v’ qui doit être plus simple que l’intégrale de départ.

Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\), dont les dérivées sont continues. Par opération de fonctions dérivables, u \times v est dérivable sur [a~; b] et (u \times v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}. Par opérations sur les fonctions continues, (u v)^{\prime}, u^{\prime} v, u v^{\prime} et u^{\prime} v+u v^{\prime} sont continues sur [a~; b]. Cette forme est celle que tu utiliseras pour calculer des primitives (intégrales sans bornes). Le terme \(\Big[ u(x) \, v(x) \Big]_a^b\) désigne \(u(b) \, v(b) - u(a) \, v(a)\). On obtient bien la formule d’intégration par parties.

2) Quand utiliser l’IPP ? Le critère ALPES

Tu utilises l’intégration par parties quand l’intégrande est un produit de deux fonctions dont l’une se simplifie en la dérivant. Les cas typiques : un polynôme multiplié par une exponentielle, un logarithme, ou une fonction trigonométrique. L’IPP est indiquée quand l’intégrande est un produit de deux fonctions de « natures différentes » (polynôme × exponentielle, polynôme × trigonométrique, logarithme × polynôme) et qu’on ne reconnaît pas directement une forme u’·f(u). D. L’IPP n’est pas toujours la bonne méthode.

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Le choix de la décomposition est la clé de la réussite d’une IPP. Un moyen mnémotechnique courant est la méthode ALPES, qui donne l’ordre de priorité pour le choix de v : Arctangente, Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus.En pratique, quand l’intégrande contient un logarithme, on le choisit presque toujours comme v (car sa dérivée 1/x simplifie le calcul). La fonction la plus haute dans la liste ALPES est celle que tu poses comme \(u\).

Marche à suivre systématique

• Décompose l’intégrande (la fonction sous le signe intégral) en un produit de deux facteurs.
• Choisis quel facteur sera \(u\) (celui que tu vas dériver) et quel facteur sera \(v^\prime\) (celui que tu vas intégrer).
• Dérive \(u\) pour obtenir \(u^\prime\). Intègre \(v^\prime\) pour obtenir \(v\) (une seule primitive suffit, pas besoin de constante à cette étape).
• Ce tableau est ta feuille de route. En le posant clairement, tu évites les erreurs de signe et de calcul dans la suite.
• Remplace dans la formule \(\int u \, v^\prime = u \, v - \int u^\prime \, v\) en utilisant les quatre éléments du tableau.
• L’intégrale \(\int u^\prime \, v\) doit être plus simple que celle de départ. Signal d’alerte : si l’intégrale \(\int u^\prime v\) est plus compliquée que l’intégrale de départ, tu as inversé \(u\) et \(v^\prime\).

3) Exemple d’introduction : calculer ∫ x·eˣ dx

Tu dois calculer \(\int x \, e^x \, dx\) et tu ne sais pas par quoi commencer ? L’intégration par parties est la technique qu’il te faut. C’est l’exemple d’introduction par excellence. Étape 1 : L’intégrande est le produit \(x \times e^x\). D’après la règle ALPES, le polynôme \(x\) (P) est au-dessus de l’exponentielle \(e^x\) (E).

Correction : Pose \(u = x\) (polynôme, à dériver pour baisser le degré) et \(v^\prime = e^x\) (exponentielle, facile à intégrer). Étape 4 : L’intégrale restante \(\int e^x \, dx = e^x + C\) est immédiate. Réflexe : toujours vérifier le résultat en dérivant la primitive obtenue. C’est rapide et ça t’évite de perdre des points bêtement.

Diagnostic : la formule d’IPP contient un signe moins : \(\int uv^\prime = uv \boldsymbol{-} \int u^\prime v\). L’élève a écrit un + au lieu d’un −. Correction : \(\int x \, e^x \, dx = (x-1)e^x + C\).

4) L’astuce « 1 × f(x) » pour les fonctions sans primitive simple

Astuce à retenir : chaque fois que tu vois une fonction « seule » dont tu ne connais pas la primitive directe - comme \(\ln(x)\), \(\arctan(x)\) ou \(\arcsin(x)\) - essaie l’astuce « \(1 \times f(x)\) » avec une IPP. Exemple : Calculer ∫₁ᵉ ln(x) dx. On écrit ln(x) = 1 × ln(x). On pose u'(x) = 1 (donc u(x) = x) et v(x) = ln(x) (donc v'(x) = 1/x).

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Énoncé : Démontrer que \(\int_1^e \ln(x) \, dx = 1\). On utilise l’astuce \(1 \times \ln(x)\). Donc : \(\int_1^e \ln(x) \, dx = e - (e - 1) = 1\). Interprétation : L’aire sous la courbe de \(y = \ln(x)\) entre \(x = 1\) et \(x = e\) vaut exactement \(1\) unité d’aire.

5) IPP successives : polynômes de degré ≥ 2 et cas oscillants

Quand le facteur polynomial est de degré 2 ou plus, une seule IPP ne suffit pas. Ce mécanisme s’étend : pour \(\int x^n e^x \, dx\), on effectue \(n\) IPP successives. Chaque étape baisse le degré du polynôme de 1. Parfois, une seule IPP ne suffit pas et il faut en effectuer une seconde. C’est le cas typique de ∫ x²·eˣ dx : la première IPP réduit le degré du polynôme de 2 à 1, la seconde de 1 à 0.

Exemple : ∫ x²·eˣ dx. Première IPP avec v = x², u’ = eˣ : x²eˣ − ∫ 2x·eˣ dx. Seconde IPP sur ∫ 2x·eˣ dx avec v = 2x, u’ = eˣ : 2x·eˣ − ∫ 2eˣ dx = 2x·eˣ − 2eˣ.

Pour les intégrales du type ∫ eˣ·cos(x) dx, deux IPP successives ramènent à l’intégrale de départ. On obtient alors une équation du type I = … − I, qu’on résout pour trouver la valeur de I. Si après deux IPP tu retombes sur l’intégrale de départ - comme avec \(\int e^x \sin(x) \, dx\) - ce n’est pas un échec, c’est le résultat attendu. Tu as obtenu une équation en \(I\) : par exemple \(I = \ldots - I\), donc \(2I = \ldots\) et tu divises par 2.

6) Exemples guidés et applications

Produit polynôme × trigonométrique

Énoncé : Calculer \(\int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx\). Effectuons une intégration par parties. Les fonctions \(u\) et \(v\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0, \pi]\). On pose \(u = x\) (polynôme, à dériver) et \(v^\prime = \cos(x)\) (trigonométrique, à intégrer). v = x, u’ = cos(x), donc v’ = 1, u = sin(x). Première IPP : v = x², u’ = sin(x) → [−x²cos(x)]₀π + ∫₀π 2x·cos(x) dx = π² + ∫₀π 2x·cos(x) dx. Seconde IPP : v = 2x, u’ = cos(x) → [2x·sin(x)]₀π − ∫₀π 2sin(x) dx = 0 − [−2cos(x)]₀π = −(2 + 2) = −4. Remarque : ce résultat élégant (\(\pi\)) est dû à la symétrie du produit \(t\sin(t)\) sur \([0, \pi]\).

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Produit exponentielle × trigonométrique

L’intégrale \(\int e^x \cos(x) \, dx\) n’est pas plus simple, mais pas plus compliquée non plus : on est dans le cas d’une double IPP. Règle d’or de la double IPP : fais toujours le même choix de rôle pour les deux itérations (ici, \(v^\prime = e^x\) à chaque fois). « Pour \(\int e^x \sin(x) \, dx\), 1re IPP : \(u = \sin(x)\), \(v^\prime = e^x\). 2e IPP : \(u = e^x\), \(v^\prime = \cos(x)\). Diagnostic : en inversant les rôles entre les deux IPP, la deuxième défait exactement le travail de la première.

Produit logarithme × polynôme

Un produit polynôme × logarithme. Parfois, une seule IPP ne suffit pas et il faut en effectuer une seconde. v = ln(x), u’ = x, donc v’ = 1/x, u = x²/2. On veut calculer ∫₀¹ x·eˣ dx. Le logarithme ne possède pas de primitive « simple » au sens usuel, mais sa dérivée est 1/x. On pose donc toujours v = ln(x) dans une IPP.

7) Erreurs classiques et diagnostics

Après avoir vu la méthode et les exemples, regardons les erreurs que font le plus souvent les élèves. « Calculons \(\int x \, e^x \, dx\). On pose \(u = e^x\) et \(v^\prime = x\). Alors \(u^\prime = e^x\) et \(v = \displaystyle\frac{x^2}{2}\). Diagnostic : l’intégrale obtenue \(\int \displaystyle\frac{x^2}{2} e^x \, dx\) est plus compliquée que l’intégrale de départ - le degré du polynôme a augmenté de 1 au lieu de diminuer ! »

Diagnostic : la formule d’IPP contient un signe moins : \(\int uv^\prime = uv \boldsymbol{-} \int u^\prime v\). L’élève a écrit un + au lieu d’un −. « Pour \(\int e^x \sin(x) \, dx\), 1re IPP : \(u = \sin(x)\), \(v^\prime = e^x\). 2e IPP : \(u = e^x\), \(v^\prime = \cos(x)\). Diagnostic : en inversant les rôles entre les deux IPP, la deuxième défait exactement le travail de la première. Diagnostic : l’oubli du \(+ \, C\) est pénalisé en DS et au bac.

8) Exercices d’entraînement orientés TPE

Voici 5 exemples classiques, du plus accessible au plus exigeant. C’est le critère décisif. C’est l’exemple d’introduction par excellence. Cet exemple est un classique absolu du programme de Terminale. Cet exemple est un grand classique de concours.

• Énoncé : Calculer \(\int_0^1 \arctan(x) \, dx\). On utilise l’astuce \(1 \times \arctan(x)\).
• On considère deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle \text{I} telles que u' et v' soient continues sur \text{I}. Le choix des fonctions u' et v est important pour permettre de continuer les calculs.
• Pour s'entraîner Exercices et p. Tu veux t’entraîner davantage ?

9) Suites d’intégrales et réflexes concours

VII. On cherche, par IPP, une relation de récurrence entre \(I_n\) et \(I_{n-1}\) (ou \(I_{n-2}\)). Exemple : Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \int_0^1 x^n e^x \, dx\). Ce type de suite d’intégrales apparaît constamment en exercices de concours. Réflexe concours : quand un énoncé te demande d’établir une relation de récurrence sur une suite d’intégrales, pense immédiatement à l’IPP.

VI. En DS ou en concours (X, Mines-Ponts, Centrale), la rigueur de la rédaction compte autant que le résultat. Un correcteur qui lit une centaine de copies repère immédiatement une IPP mal présentée. Conseil : en concours, une IPP bien rédigée te prend environ 5 à 8 lignes. Si c’est plus court, il te manque une justification.

10) Fiches pratiques pour TPE : intégrer la méthode dans un projet

L’intégration par parties suit une méthode systématique en plusieurs étapes. Vérifiez que l’intégrande se présente sous la forme d’un produit de deux fonctions de natures différentes (polynôme × exponentielle, logarithme × polynôme, etc.). Si ∫ u·v’ est plus simple que l’intégrale initiale, calculez-la directement. Le principe général est de choisir v comme la fonction qui se simplifie en dérivant et u’ comme la fonction dont on connaît une primitive.

VIII. L’intégration par parties consiste à décomposer l’intégrande en un produit \(u \times v^\prime\), puis à appliquer la formule \(\int u \, v^\prime = u \, v - \int u^\prime \, v\). En pratique, tu choisis \(u\) (la fonction à dériver) grâce à la règle ALPES, tu calcules les 4 éléments dans un tableau, tu appliques la formule, puis tu calcules l’intégrale restante. Si celle-ci est immédiate, tu conclus.

Les quatre grandes techniques de calcul de primitives sont : (1) la reconnaissance directe via le tableau des primitives usuelles, (2) l’intégration par parties (cet article), (3) le changement de variable, et (4) la décomposition en éléments simples pour les fractions rationnelles (niveau prépa). Oui, l’intégration par parties figure au programme de mathématiques en Terminale spécialité (programme 2026). C’est aussi un outil central en classe préparatoire (MPSI, PCSI, MP, PC, PSI…), où elle intervient dans des démonstrations de cours (formule de Taylor, intégrales de Wallis) et dans de nombreux problèmes de concours.

Tableau de décision (ALPES) pour un TPE

IX. Tu maîtrises maintenant l’intégration par parties, de la formule de base jusqu’aux suites d’intégrales de prépa. L’IPP est une technique qui s’acquiert par la pratique : chaque type d’intégrande demande un réflexe différent. Format A4, prêt à imprimer.

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Pour compléter, consultez nos articles sur le calcul intégral et sur comment calculer une intégrale. L’erreur la plus fréquente est un mauvais choix de décomposition qui complique l’intégrale au lieu de la simplifier. Si après l’IPP la nouvelle intégrale est plus complexe, il faut inverser le choix de u’ et v.

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