Analyse de fonctions et méthodes de travail pour le TPE bac : étude du sens de variation, convexité et tangentes

Ce guide s’appuie sur des notions clés mobilisées en bac spécialité maths pour analyser des fonctions et leur comportement: sens de variation, convexité, points d’inflexion, tableaux de variation, équations de tangentes et limites. Il combine les définitions, exemples et repères habituels des sujets de bac pour faciliter l’étude de fonctions usuelles et plus générales.

1. Définition et cadre général

Une fonction dérivable sur un intervalle I est convexe si et seulement si sa courbe est entièrement située au dessus de chacune de ses tangentes. Un point d’inflexion caractérise un changement de convexité de la courbe représentative d’une fonction continue. On note que la convexité peut être liée à la dérivabilité et au signe de la dérivée seconde sur l’intervalle considéré.

2. Étude du sens de variation

Pour déterminer le sens de variation d’une fonction sur un intervalle, on peut :

Calculer la dérivée et étudier son signe: si f'(x) > 0 sur un sous-intervalle, alors f est croissante; si f'(x) < 0, alors f est décroissante.
Établir le tableau de variation à partir des valeurs critiques et des points d’intersection avec les axes.

Exemple typique : donner une valeur approchée de zéro et étudier le signe sur l’intervalle concerné afin de dresser le tableau de variation et de repérer les intervalles de croissance et de décroissance.

3. Fonction exponentielle et convexité

Pour la fonction exponentielle, on examine notamment le tableau de variation et l’équation de la tangente. La fonction exponentielle est croissante sur tout son domaine et ses tangentes permettent de tracer des approximations linéaires utiles pour étudier des bornes et des limites.

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4. Logarithme népérien et limites

Le logarithme népérien est étudié à travers ses limites et son tableau de variation, en particulier pour déterminer le nombre de solutions d’équations associées et la convexité de la fonction. L’analyse s’appuie sur les dérivées et sur la connaissance des asymptotes potentielles.

5. Étude de variations et solutions dans des sujets typiques

Dans les sujets 12, 13 et 14 des baccalauréats spéciaux maths, on retrouve régulièrement :

Étude du sens de variation de f sur un intervalle donné;
Recherche d’une solution unique d’une équation et estimation numérique d’une valeur approchée;
Détermination du signe d’une expression et représentation graphique de sa courbe dans un repère orthonormal;
Construction d’un tableau de variation et identification d’asymptotes (verticales, obliques) et de positions relatives entre différentes courbes;
Caractérisation du coefficient directeur et du comportement asymptotique d’une droite tangente.

6. Choix d’outils et organisation pratique

Pour résoudre les exercices de type TPE bac, il est utile :

De partir des définitions et des propriétés générales (convexité, tangentes, inflexion) et de les illustrer par des exemples concrets;
D’identifier les points critiques et les tableaux de variation en utilisant la dérivée et les limites;
D’anticiper les approches avec des astuces pour les tangentes et les asymptotes afin de mieux encadrer les solutions;
D’utiliser des représentations graphiques pour vérifier la cohérence entre le calcul et le dessin.

7. Cas des polynômes et fonctions associées

Pour les fonctions polynômes, on considère leur continuité sur tout leur domaine et on étudie les équations associées et les signes des expressions en fonction des racines et du degré. On peut noter leur courbe représentative dans un repère orthonormal et dresser le tableau de variation en suivant l’ordre des racines et des changements de signe.

8. Asymptotes et position relative

Les notions d’asymptotes verticales et obliques jouent un rôle important dans l’étude des comportements extrêmes des fonctions. On détermine la présence d’une asymptote oblique et l’étude de la position relative entre des courbes pour mieux comprendre les solutions et les domaines de définition.

Établir les équations et déterminer le signe des expressions clés.
Noter les courbes représentatives et tracer les tendances générales.
Compléter le tableau de variation en tenant compte des singularités et des limites.

9. Exemple résumant le schéma d’étude

Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. On cherche à déterminer:

le sens de variation sur I;
la convexité et les éventuels points d’inflexion;
les tangentes et l’équation de la tangente en un point donné;
les limites et les éventuelles asymptotes;
le nombre de solutions d’équations associées et leur valeur approchée.

BAC 2022 - DÉRIVATION & CONVEXITÉ

10. Tableaux et résultats typiques

Tableau de variation type pour une fonction f sur I:

Intervalle	signe de f'(x)	variation	points critiques
I1	+	croissante	x=a
I2	-	décroissante	x=b

On peut compléter par des informations sur les asymptotes et les positions relatives entre courbes lorsque cela est nécessaire pour l’analyse complète.

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