Limites de fonctions — exercices corrigés pour la Terminale (bac)

Préparez vos révisions en vous exerçant sur nos exercices de mathématiques sur le chapitre des limites de fonction en Terminale. N’hésitez pas à compléter avec les annales de bac en Terminale en maths pour asseoir durablement vos connaissances. Ce chapitre est très important pour la suite de l’année car dans toute étude de fonction exponentielle ou encore de fonction logarithme en terminale, il y aura forcément un calcul de limite à effectuer.

Rappels de limites usuelles et formes indéterminées

On a \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-x}=0\). On a que \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^{-x}=+\infty\). Or, \(\displaystyle \lim_{X \to +\infty} e^X=+\infty\). Or, \(\displaystyle \lim_{X \to -\infty} e^X=0\). De plus, \(\displaystyle \lim_{x \to 0+} \dfrac{1}{x^3}=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to 0+}\sqrt{x}=0\). \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x^3}=0\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x}=+\infty\).

\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x^2+7x-3)=-\infty\) et \(\displaystyle \lim_{X \to -\infty} e^X=0\). \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(1-2x)=-\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x =+\infty\). En appliquant les règles de calcul sur les limites en \(+\infty\), nous tombons sur une forme indéterminée ‘\(\infty - \infty \)’.

Techniques usuelles : factorisation, division par puissance, comparaison

Pour tout réel \(x\neq 0\), \(f(x)=x^2\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)\). On développe l’expression de droite. Or, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}x=+\infty\) et ainsi, \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\) lorsque le terme dominant est positif. Par ailleurs, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x=-\infty\) et donc, en appliquant la règle des signes, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\dfrac{1-x^4}{2+x+x^3}=+\infty\). De même, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\dfrac{1-x^4}{2+x+x^3}=-\infty\) en appliquant la règle des signes.

Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0\) et \(\displaystyle\lim _{x\to + \infty} \dfrac{e^{3x}}{3x}=+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle\lim _{x\to + \infty} \dfrac{e^{3x}}{28x}=+\infty\). Par ailleurs, \(\displaystyle\lim _{x\to - \infty}e^{3x}=0\) et \(\displaystyle\lim _{x\to - \infty} 28x=-\infty\).

Limites par comparaison et inégalités

Pour tout réel \(x\), \(e^x+\sin(x) \geqslant e^x -1\). Or, \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty}(e^x-1)=+\infty\), donc par comparaison \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}(e^x+\sin x)=+\infty\). Pour tout réel \(x>0\), \(x^2+\dfrac{3}{x}\geqslant x^2\). Or, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}x^2=+\infty\) et donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(x^2+\dfrac{3}{x}\right)=+\infty\).

Pour tout réel \(x\), \(-1\leqslant \cos(4x) \leqslant 1\). Ainsi, \(-4 \leqslant \cos(4x)-3 \leqslant -2\). En particulier, pour \(x>0\), \(f(x) \leqslant -2x^3\). Or, \(\displaystyle\lim _{x \to +\infty} (-2x^3)=-\infty\). Ainsi, par comparaison, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left((\cos(4x)-3)x^3\right)=-\infty.\) Par ailleurs, pour \(x<0\), on a \(\left((\cos(4x)-3)x^3\right) \geqslant -4x^3\). Or, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-4x^3)=+\infty\).

Pour tout réel non nul \(x\), \(\dfrac{-5}{x^3} \leqslant\dfrac{3\sin(x)+2 \cos(x)}{x^3}\leqslant \dfrac{5}{x^3}\). Or, \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{-5}{x^3}=\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3\sin(x)+2 \cos(x)}{x^3}=0\). Pour tout réel non nul \(x\), \(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\leqslant 1+\dfrac{\sin(x)}{\sqrt{x}} \leqslant 1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\). Or, \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)=1\).

Pour tout réel non nul \(x\), \(\dfrac{x+2\sin(x)}{x}=1+2\dfrac{\sin(x)}{x}\). Or, pour tout réel \(x>0\), \(1-\dfrac{2}{x}\leqslant 1+\dfrac{2\sin (x)}{x} \leqslant 1+\dfrac{2}{x}\). Or, \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(1+\dfrac{2}{x}\right)=\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(1-\dfrac{2}{x}\right)=1\).

Limites à gauche, à droite et asymptotes verticales

Lorsque \(x \geqslant 1\), \(1-x \leqslant 0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} (1-x)=0^-\). Par ailleurs, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} 2x=2\) qui est positif. Lorsque \(x \leqslant 1\), \(1-x \geqslant 0\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} (1-x)=0^+\). Par ailleurs, \(\displaystyle \lim_{x \to 1^-} 2x=2\) qui est positif.

Les droites d’équation \(x=-4\) et \(x=5\) sont asymptotes verticales à la courbe de \(f\). De plus, \(\displaystyle \lim_{x \to (-1)^+} (2x+2)=0^+\) et \(\displaystyle \lim_{x \to (-1)^+} (x^2+3x-4)=(-1)^2+3\times(-1)-4=-6\). En appliquant la règle des signes, on a alors \(\displaystyle \lim_{x \to (-1)^+}f(x)=-\infty\).

Étude d'exemples types

On considère la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{e^x}{x^2+1}\). La fonction \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\), son dénominateur n’étant jamais nul. De plus, on a, pour tout réel \(x\), \(f(x)>0\). La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) puisque sa dérivée est positive et ne s’annule qu’en un nombre fini de valeurs. La courbe de \(f\) a une tangente horizontale en \(1\) puisque \(f'(1)=0\).

Par ailleurs, pour tout réel \(x\neq 0\), \(f(x)=\dfrac{e^x}{x^2} \times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x^2}}\). Or, par croissance comparées, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{e^x}{x^2}=0\). Ainsi, la limite en \(+\infty\) de \(f\) est \(+\infty\) et la limite en \(-\infty\) est \(0\).

Exemple de fraction rationnelle et factorisation

Pour tout réel \(x\neq 1\) et \(x\neq 0\), \(f(x)=\dfrac{2}{\dfrac{1}{x}-1}\). Pour tout réel \(x\neq 0\), \(e^x - 3x^2+5x-1=e^x\left(1-3\dfrac{x^2}{e^x}+5\dfrac{x}{e^x}-\dfrac{1}{e^x}\right)\). Or, \(\displaystyle\lim _{x\to + \infty} \left( 1-\dfrac{3x^2}{e^x}+5\dfrac{x}{e^x}-\dfrac{1}{e^x}\right)=1\) par croissances comparées.

Les racines du polynôme \(3x^2-x-2\) sont 1 et \(-\dfrac{2}{3}\). \(2x+2\) s’annule en \(x=-1\). \(x^2+3x-4\) est un polynôme du second degré dont les racines sont 1 et \(-4\). Pour tout réel \(x\), on pose \(u(x)=x^2+3x-4\) et \(v(x)=2x+2\). \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\) et \(v\) ne s’annule pas sur ces intervalles.

Puisque pour tout réel \(x\neq -1\), \((2x+2)^2>0\), \(f'(x)\) est du signe de \(x^2+2x+7\). C’est un polynôme du second degré dont le discriminant vaut \(\Delta = 2^2-4 \times 7 \times 1 = -24 >0\).

Limites avec exponentielle et termes polynomiaux - croissances comparées

Remarquons que pour tout réel \(x\), \(x^2e^{-x}-x=\dfrac{x^2}{e^x}-x\). Or, par croissances comparées, \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^2}{e^x}=0\) et donc \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x^2}{e^x}-x\right)=-\infty\). Par ailleurs, \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty} x^2e^{-x}=+\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty} (-x)=+\infty\).

Pour tout réel \(x\neq 0\), \(\dfrac{e^{3x}}{28x}=\dfrac{3}{28} \times \dfrac{e^{3x}}{3x}\). Or, par croissances comparées, \(\displaystyle\lim _{x\to + \infty} \dfrac{e^{3x}}{3x}=+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle\lim _{x\to + \infty} \dfrac{e^{3x}}{28x}=+\infty\).

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x-1}{e^x+x}=1\). En effet, \(\dfrac{e^x-1}{e^x+x}=\dfrac{1-\dfrac{1}{e^x}}{1+\dfrac{x}{e^x}}\). Or, \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{e^x}=0\) et, par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0\).

Par ailleurs, \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} (e^x-1)=-1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(e^x+x)=-\infty\). Par ailleurs, \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3+\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{e^x}}{1+\dfrac{1}{e^x}+\dfrac{1}{e^{2x}}} = 3\) et, par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{x}{e^x}=0\).

Limites unilatérales liées au signe

D’une part, \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^x+e^{-x}}{x} = +\infty\) et \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \dfrac{e^x+e^{-x}}{x}=-\infty\). Par ailleurs, pour tout réel \(x>0\), \(e^{-x}>0\). Ainsi, \(e^x+e^{-x}>e^x\) et \(\dfrac{e^x+e^{-x}}{x}>\dfrac{e^x}{x}\). Enfin, pour tout réel \(x<0\), \(e^x>0\). Ainsi, \(e^x+e^{-x}>e^{-x}\). Or, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty }(-x)=+\infty\) et par croissances comparées, \(\displaystyle \lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X}=+\infty\). Ainsi, \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{e^{-x}}{-x}=+\infty\).

Exercices de pratique - énoncés et corrigés rapides

Calculer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{e^x-1}{e^x+x}\). Réponse : 1 (voir simplification par division par e^x).
Montrer \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x}{e^x}=0\). Réponse : par croissances comparées, l'exponentielle domine tout polynôme.
Déterminer les limites de \(f(x)=\dfrac{e^x}{x^2+1}\) en \(\pm\infty\). Réponse : \(\lim_{+\infty}=+\infty\), \(\lim_{-\infty}=0\).

Quelques astuces pour le bac

Pour les quotients d’exponentielles et de polynômes, diviser par la plus grosse croissance (souvent e^x pour x→+∞ ou une puissance de x pour polynômes).
Utiliser les inégalités simples (bornes sur cos, sin) pour appliquer le théorème des gendarmes.
Pour les limites unilatérales, étudier le signe des facteurs et les comportements proches des points problématiques (dénominateur nul, points de discontinuité).
Reconnaitre rapidement les formes indéterminées (0/0, ∞/∞, ∞−∞) et appliquer les techniques adaptées (factorisation, mise en évidence, développement asymptotique).

LE COURS : Notion de limite d'une fonction - Terminale

Tableau récapitulatif : limites usuelles

Expression	Limite
\(e^{-x}\) quand \(x\to+\infty\)	0
\(e^{-x}\) quand \(x\to-\infty\)	+\infty
\(\dfrac{1}{x^3}\) quand \(x\to0^+\)	+\infty
\(\sqrt{x}\) quand \(x\to0^+\)	0
\(\dfrac{e^x-1}{e^x+x}\) quand \(x\to+\infty\)	1
\(\dfrac{e^{3x}}{28x}\) quand \(x\to+\infty\)	+\infty

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