Processus Stochastique en Finance : Définition et Exemples

Lorsque l'on travaille en comptabilité ou dans les finances, on doit maîtriser l'analyse financière. Plusieurs points doivent alors être compris et utilisés, et parmi ceux-ci, le calcul stochastique est incontournable. C'est en effet un domaine mathématique très important qui modélise des processus aléatoires et permet de comprendre et de prévoir l'évolution des systèmes dynamiques en fonction de certaines variations qui sont alors incertaines. Voyons ce qu'est ce calcul stochastique et ses applications.

Mouvement Brownien

Comprendre le Calcul Stochastique

Il est important, avant même d'étudier les différentes applications du calcul stochastique, de bien comprendre de quoi il s'agit. Ce type de calcul s'intéresse aux processus qui évoluent avec des composantes aléatoires. Il permet ainsi d'étendre le calcul différentiel à différents cas pour lesquels les perturbations sont imprévisibles. Ce calcul stochastique permet de mieux comprendre et prévoir les systèmes incertains.

La théorie des probabilités a alors un rôle central. Elle fournit, en effet, les outils indispensables pour réaliser les analyses concernant les fluctuations et événements incertains pouvant se produire.

Concepts Clés Liés au Calcul Stochastique

Les processus stochastiques: collection de variables aléatoires qui sont indexées dans le temps. Elles servent à modéliser des phénomènes qui dépendent de ces facteurs aléatoires.
Le mouvement brownien (ou processus de Wiener): Ce modèle décrit les trajectoires continues et irrégulières, et est très utilisé pour représenter les cours de la bourse. Le mouvement brownien implique un processus de diffusion. En 1827, Robert Brown a observé que des particules immergées dans un liquide sont en perpétuel mouvement irrégulier. Le mouvement brownien voulait alors modéliser ce phénomène. C'est le mathématicien Norbert Wiener qui analyse mathématiquement ce mouvement brownien.
Les intégrales stochastiques: Elles sont primordiales pour le calcul Itô et permettent de travailler avec les fonctions des mouvements browniens. Cette théorie a été développée en 1940, par Kiyosi Itô. Ce concept est un des outils fondamentaux de la stochastique. Cela définit le processus stochastique Xt. On utilise alors des propriétés spécifiées en termes de mouvement brownien.
Les EDS ou Équations Différentielles Stochastiques: généralisent les équations différentielles en incluant des termes stochastiques. Lorsqu'une situation doit évoluer, nous ne savons pas quelles fonctions utiliser. Avec cette équation différentielle, il sera possible de calculer les fonctions utilisables. Le lemme d'Itô est, quant à lui, une version plus spécifique du théorème fondamental du calcul. Il est la base pour déterminer l'équation différentielle.

Applications du Calcul Stochastique en Finance

Le calcul stochastique a de nombreuses utilisations dans le monde de la finance.

Modélisation des Actifs Financiers

Il permet la modélisation des actifs financiers. Il est ainsi possible de modéliser le comportement des actifs financiers (actions, obligations, options). On peut utiliser différents modèles, comme par exemple, le modèle de Black-Scholes-Merton qui consiste à appliquer des processus stochastiques afin d'estimer la variation des prix des actifs. Il sera ainsi plus simple d'évaluer les opportunités et risques associés à des produits financiers. Le modèle de Black-Scholes-Merton a été développé par Fischer Black, Myron Scholes et Robert Merton. Il calcule le prix théorique des différentes options et dérivés financiers. C'est une méthode standardisée qui est adoptée dans le monde entier.

La formule qui a radicalement transformé la finance mondiale [Black-Scholes]

Gestion des Risques

Le calcul stochastique est aussi utile pour la gestion des risques et est utilisé par les banques et institutions financières. On se base ainsi sur des simulations Monte-Carlo pour mesurer la probabilité des pertes. Il sera alors possible de prendre des décisions efficaces, et de modéliser des scénarios de crise. La simulation Monte-Carlo est une technique qui évalue les conséquences des chaînes de décision comprenant des risques significatifs. Il sera ainsi possible d'évaluer l'évolution des actifs financiers en réalisant des simulations aléatoires, ainsi que de quantifier des mesures de risques (comme le Value-at-Risk (VaR)).

Optimisation de Portefeuilles

Il est également possible, avec ce type de calcul, d'optimiser des portefeuilles. Le calcul stochastique va, en effet, permettre de maximiser les rendements et diminuer les risques. Il permettra de diversifier les investissements et d'évaluer les risques associés à chaque actif, et donc d'ajuster les stratégies en fonction des conditions du marché.

Arbitrage et Comparaison de Portefeuilles

Le calcul stochastique fournit également des notions d'arbitrage. Pour cela, il faut mettre en place une modélisation des incertitudes liées à l'évolution du marché financier. C'est aussi un procédé qui va permettre la comparaison des portefeuilles. Il est encore utilisé pour le modèle binomial (sur une période ou plusieurs) qui permet d'estimer la valeur des options.

Concepts de Base du Calcul Stochastique

Le calcul stochastique prend en compte différents concepts utilisés pour définir les probabilités. Il existe différents concepts liés à ce type de calcul.

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Convergence de Suite de Variables Aléatoires

C'est un concept très important pour ce qui concerne les probabilités. Il existe différents modes de convergence :

Essentiellement uniformes
En moyenne d'ordre P
Presque sûre

Il sera ainsi possible de définir des probabilités et de savoir où l'on va dans le domaine de la finance.

Applications Avancées en Options et Produits Dérivés

Dans le domaine de la finance, le calcul stochastique est très intéressant. Différentes applications sont alors mises en œuvre.

Théorème de Girsanov

Ce théorème indique comment un processus stochastique peut changer si l'on change les mesures. C'est un théorème important dans la théorie des mathématiques financières. Il est utile pour déterminer la seule probabilité de risque dans l'application.

Théorème de Représentation des Martingales

Dans le domaine des mathématiques financières, la martingale désigne un processus probabiliste. Il étudie le maximum de données possible afin d'en déduire la valorisation dans le futur des produits.

Modélisation Stochastique

Lorsque l'on parle de calculs stochastiques, il est aussi important de s'appuyer sur la modélisation stochastique. Celle-ci est utilisée, dans le domaine des finances, pour estimer les résultats potentiels des différents agissements en présence d'incertitude. On obtient ainsi la probabilité des différents résultats. Les institutions financières peuvent donc considérer des incertitudes dans les estimations réalisées. Les situations dans lesquelles les données ne peuvent être connues à 100 % sont alors prises en compte. Il sera ainsi possible de connaître les performances d'un portefeuille sur un marché volatil. On utilise pour cela différentes équations comprenant des entrées présentant des incertitudes dans le temps.

Pour gérer au mieux les risques, il est aussi possible de faire appel à des logiciels, très utilisés dans ce domaine. Il sera alors possible de bien gérer les risques et de diminuer les pertes de façon conséquente. Ces logiciels effectuent, en premier lieu, une cartographie des risques. Puis, ils réalisent une campagne RCSA. Il sera ensuite possible d'automatiser les contrôles et de définir les alertes.

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